MATHEMATIK

Aus islamischer Sicht gilt die Mathematik als Tor, das von der sinnlichen zur intelligiblen Welt führt, als Treppe zwischen der Welt des Wandels und dem Himmel der Archetypen. Einheit, die zentrale Idee des Islam, ist aus menschlicher Sicht eine Abstraktion, auch wenn sie an sich konkret ist. Auch die Mathematik ist im Vergleich zur Sinneswelt eine Abstraktion; aber vom Standpunkt der intelligiblen Welt aus betrachtet ist Platons „Ideenwelt“ ein Leitfaden zu ewigen Wesenheiten, die selbst konkret sind. So wie alle Figuren aus dem Punkt entstehen und alle Zahlen aus der Einheit, so kommt alle Vielfalt vom Schöpfer, der Eins ist. Zahlen und Figuren werden, wenn man sie im pythagoräischen Sinne betrachtet – das heißt als ontologische Aspekte der Einheit und nicht einfach als reine Quantität –, zu Vehikeln für den Ausdruck der Einheit in der Vielfalt. Der muslimische Geist fühlte sich daher schon immer von der Mathematik angezogen, was sich nicht nur an der großen Aktivität der Muslime in den mathematischen Wissenschaften, sondern auch in der islamischen Kunst zeigt.

Die pythagoreische Zahl, die traditionelle Zahlvorstellung, ist die Projektion der Einheit, ein Aspekt des Ursprungs und des Zentrums, der in gewissem Sinne niemals seinen Ursprung verlässt. In quantitativer Hinsicht kann eine Zahl teilen und trennen; in seinem qualitativen und symbolischen Aspekt integriert es jedoch die Vielfalt wieder in die Einheit. Außerdem ist es aufgrund seiner engen Verbindung mit geometrischen Figuren eine „Persönlichkeit“: Beispielsweise entspricht die Drei dem Dreieck und symbolisiert Harmonie, während die Vier, die mit dem Quadrat verbunden ist, Stabilität symbolisiert. Aus dieser Perspektive betrachtet sind Zahlen wie viele konzentrische Kreise, die auf vielfältige Weise ihr gemeinsames und unveränderliches Zentrum widerspiegeln. Sie „fortschreiten“ nicht äußerlich, sondern bleiben dank der ontologischen Beziehung, die sie stets mit der Einheit aufrechterhalten, mit ihrer Quelle verbunden. Das Gleiche gilt auch für geometrische Figuren, die jeweils einen Aspekt des Seins symbolisieren. Die Mehrheit der muslimischen Mathematiker, wie zum Beispiel die Pythagoräer, haben die Wissenschaft der Mathematik nie als rein quantitatives Fach kultiviert, noch haben sie jemals Zahlen von geometrischen Figuren getrennt, die ihre „Persönlichkeit“ konzeptualisieren. Sie wussten nur zu gut, dass die Mathematik aufgrund ihrer inneren Polarität „Jakobsleiter“ war, die unter der Führung der Metaphysik in die Welt der Archetypen und zum Sein selbst führen konnte, sich aber stattdessen von ihrer Quelle trennte werden zum Mittel für den Abstieg in die Welt der Quantität, zu dem Pol, der immer umso weiter von der leuchtenden Quelle allen Seins entfernt ist, je mehr die Bedingungen der kosmischen Manifestation dies zulassen. Es kann seitens des Menschen keine „Neutralität“ gegenüber Zahlen geben: Entweder er steigt in die Welt des Seins auf, indem er ihre qualitativen und symbolischen Aspekte kennt, oder er steigt durch sie als bloße Zahlen in die Welt der Quantität hinab. Beim Studium der Mathematik im Mittelalter wurde meist der erste Aspekt berücksichtigt. Die Wissenschaft der Zahlen war, wie die Brüder der Reinheit schrieben, „die erste Unterstützung der Seele durch den Intellekt und die großzügige Ausgießung des Intellekts auf die Seele“; es galt auch als „die Sprache, die von Einheit und Transzendenz spricht“.
Das Studium der mathematischen Wissenschaften im Islam umfasste fast die gleichen Fächer wie das lateinische Quadrivium, ergänzt um Optik und einige andere Unterthemen. Seine Hauptdisziplinen waren – wie im Quadrivium – Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik. Die meisten islamischen Wissenschaftler und Philosophen waren in all diesen Wissenschaften ausgebildet; einige, wie Avicenna, al-Fārābī und al-Ghazzālī, schrieben wichtige Abhandlungen über Musik und ihre Auswirkungen auf die Seele.

Die Astronomie und ihre Schwesterastrologie, mit der sie fast immer in Verbindung gebracht wurde (im Arabischen wie im Griechischen bezeichnet das gleiche Wort beide Disziplinen), wurden aus verschiedenen Gründen gepflegt: Es gab Probleme mit der Chronologie und dem Kalender; die Notwendigkeit, die Richtung von Mekka und die Tageszeit für die täglichen Gebete herauszufinden; die Aufgabe, Horoskope für Fürsten und Herrscher zu erstellen, die für ihre Tätigkeit fast immer einen Astrologen konsultierten; und natürlich der Wunsch, die Wissenschaft der Bewegung von Himmelskörpern zu perfektionieren und ihre Widersprüche zu überwinden, um die Perfektion des Wissens zu erreichen.

Die Haupttradition der Astronomie gelangte von den Griechen durch den Almagest des Ptolemäus zu den Muslimen. Es gab jedoch auch die indische Schule, deren Lehren zur Astronomie sowie zur Arithmetik, Algebra und Geometrie im aus dem Sanskrit ins Arabischen übersetzten Siddhānta enthalten waren. Es gab auch einige chaldäische und persische Texte, von denen die meisten Originale verloren gehen, sowie eine vorislamische arabische astronomische Tradition. Wie wir bereits gesehen haben, machten muslimische Astronomen viele Beobachtungen, deren Ergebnisse in zahlreichen Tabellen (zīj) aufgezeichnet wurden, die größer als die alten waren, und bis in die Neuzeit verwendet wurden. Sie setzten auch Ptolemäus‘ Schule der mathematischen Astronomie fort und wandten ihre verbesserte Wissenschaft der sphärischen Trigonometrie auf die genauere Berechnung der Himmelsbewegung im Kontext der Epizykeltheorie an. Sie folgten meist einer geozentrischen Theorie, waren sich aber, wie al-Bīrūnī zeigt, der Existenz des heliozentrischen Systems bewusst. Und wie al-Bīrūnī berichtet, baute Abū Sa'īd al-Sijzī sogar ein Astrolabium auf Basis der heliozentrischen Theorie.
Der Einfluss indischer Ideen würde auch zur Entwicklung und Systematisierung der Algebrawissenschaft führen. Obwohl Muslime mit der Arbeit von Diophantus vertraut waren, besteht kaum ein Zweifel daran, dass die von Muslimen gepflegte Algebra ihre Wurzeln in der indischen Mathematik hat, die sie mit griechischen Methoden synthetisierten. Das Genie der Griechen zeigte sich in ihrem Ausdruck der endlichen Ordnung, des Kosmos und damit der Zahlen und Figuren; Die Perspektive der östlichen Weisheit basiert auf dem Unendlichen, dessen „horizontales Bild“ dem „unbestimmten“ Charakter der Mathematik entspricht. Die Algebra, die eng mit dieser auf dem Unendlichen basierenden Perspektive verbunden ist, entstand aus indischen Spekulationen und erreichte ihre Reife in der islamischen Welt, wo sie immer mit der Geometrie verbunden war und ihre metaphysische Grundlage beibehielt. Zusammen mit der Verwendung indischer Ziffern – heute bekannt als „arabische Ziffern“ – kann Algebra als die wichtigste Wissenschaft angesehen werden, die Muslime dem Korpus der antiken Mathematik hinzufügten. Im Islam trafen die Traditionen der indischen und griechischen Mathematik aufeinander und verschmolzen zu einem Rahmen, in dem Algebra, Geometrie und Arithmetik einen kontemplativen, spirituellen und intellektuellen Aspekt sowie den praktischen und rein rationalen Aspekt besitzen würden, der die Einheit bildet, zu der sie gehört mittelalterliche Mathematik, die von der späteren westlichen Wissenschaft mit demselben Namen übernommen und weiterentwickelt wurde.

Die Geschichte der Mathematik im Islam beginnt ausschließlich mit Muhammad ibn Mūsā al-Khwārazmī, in dessen Schriften die griechische und die indische mathematische Tradition verschmolzen. Dieser Mathematiker des XNUMX./XNUMX. Jahrhunderts hinterließ verschiedene Werke, von denen das Kompendium über den Prozess der Berechnung durch Zwangsbedingungen und Gleichungen das wichtigste ist, das wir später untersuchen werden. Es wurde mehrmals ins Lateinische übersetzt, unter dem Titel „Liber Algorismi“ oder „Buch von al-Khwārazmī“; es wurde zur Wurzel des Wortes „Algorithmus“.

Auf Al-Khwārazmī folgten im selben Jahrhundert al-Kindī, der erste berühmte islamische Philosoph, der auch ein Mathematikexperte war und Abhandlungen zu fast jedem Thema der Disziplin verfasste, und sein Schüler Ahmad al-Sarakhsī, der vor allem für seine Werke bekannt ist über Geographie, Musik und Astrologie. Zu dieser Zeit gehörten auch Māhānī, der die Entwicklung der Algebra fortsetzte und vor allem durch das Studium des Archimedes-Problems berühmt wurde, und die drei Söhne von Shākir ibn Mūsā – Muhammad, Ahmad und æasan –, die auch „Banu Mūsā“ genannt werden. . Sie alle waren bekannte Mathematiker und Ahmad war auch ein erfahrener Physiker.

Zu Beginn des XNUMX./XNUMX. Jahrhunderts traten mehrere große Übersetzer auf, die auch begabte Mathematiker waren. Besonders hervorzuheben unter ihnen war Thābit ibn Qurrah, der die Kegelschnitte des Apollonius, verschiedene Abhandlungen des Archimedes und die Einführung in die Arithmetik des Nikomachus übersetzte und selbst einer der größten muslimischen Mathematiker war. Ihm wird zugeschrieben, das Volumen eines Paraboloids berechnet und eine geometrische Lösung für einige Gleichungen dritten Grades gegeben zu haben. Sein Zeitgenosse Qusøā ibn Lūqā, der in der späteren islamischen Geschichte als Personifikation der Weisheit der Antike berühmt wurde, war ebenfalls ein kompetenter Übersetzer und übersetzte die Werke von Diophantus und Hero ins Arabische.

Andere bemerkenswerte Mathematiker des 4./3. Jahrhunderts sind Abū'l-Wafā' al-Buzjānī, der Kommentator des Book of Compendium on the Process of Calculus by Transport and Equation, der die quadratische Gleichung xXNUMX + pxXNUMX = q durch Mittel löste des Schnittpunkts einer Parabel und einer Hyperbel. Zu diesem Jahrhundert gehören auch Alhazen, von dem wir bereits gesprochen haben, und die „Brüder der Reinheit“, mit denen wir uns gleich befassen werden. Ihnen folgte Abū Sahl al-Kūhī, ein weiterer der bekanntesten muslimischen Algebraisten und Autor der Nachträge zum Buch Archimedes, der sich eingehend mit Trinomialgleichungen befasste.

Unter den in dieser Zeit tätigen Mathematikern könnte man auch Avicenna erwähnen, obwohl sein Ruf als Philosoph und Arzt weitaus größer ist als als Mathematiker. Avicenna entwickelte, wie al-Fārābī vor ihm, die Theorie der persischen Musik seiner Zeit, eine Musik, die bis heute als lebendige Tradition überlebt hat. Es ist nicht korrekt zu sagen, dass ihre Werke einen Beitrag zur Theorie der „arabischen Musik“ darstellen, da die persische Musik im Wesentlichen einer anderen Musikfamilie angehört. Sie ist der Musik der alten Griechen – der Musik von Pythagoras und Platon – sehr ähnlich, auch wenn sie einen gewissen Einfluss auf die arabische Musik sowie einen starken Einfluss auf den Flamenco ausgeübt hat, und wenn sie wiederum die Musik beeinflusst hat Einfluss von Rhythmus und Melodie arabischer Musik. Es war diese Tradition der persischen Musik, die Avicenna und al-Fārābī vor ihm in Form von Studien theoretisierten und dann als Zweig der Mathematik betrachteten.

Avicenna war ein Zeitgenosse des berühmten al-Bīrūnī, der uns einige der wichtigsten mathematischen und astronomischen Schriften des Mittelalters hinterlassen hat und der sich speziell mit Problemen wie Zahlenreihen und der Bestimmung des Radius befasste Erde. Sein Zeitgenosse Abū Bakr al-Karkhī hinterließ auch zwei grundlegende Werke der islamischen Mathematik, das Fakhr al-Dīn gewidmete Buch über Algebra und Anforderungen an die Arithmetik.

Das XNUMX./XNUMX. Jahrhundert, das die Machtübernahme der Seldschuken markiert, war durch ein gewisses Desinteresse an Mathematik in den offiziellen Schulen gekennzeichnet, obwohl in dieser Zeit eine Reihe großer Mathematiker auftraten. Sie wurden von 'Umar Khayyām und einer Reihe anderer Astronomen und Mathematiker geleitet, die mit ihm an der Überarbeitung des persischen Kalenders arbeiteten. Die Arbeit dieser Mathematiker führte schließlich zu einer fruchtbaren Tätigkeit im XNUMX./XNUMX. Jahrhundert, als nach der Mongoleninvasion das Studium der mathematischen Wissenschaften wiederbelebt wurde. Die Hauptfigur dieser Zeit war Nasīr al-Dīn al-Tusī. Unter seiner Leitung versammelten sich, wie wir oben gesehen haben, viele Wissenschaftler, insbesondere Mathematiker, im Maragha-Observatorium.
Obwohl das Interesse am Studium der Mathematik nach dem XNUMX./XNUMX. Jahrhundert allmählich abnahm, blühten bedeutende Mathematiker weiterhin auf, lösten neue Probleme und entdeckten neue Methoden und Techniken. Ibn Bannā' al-Marrākushī schuf im XNUMX./XNUMX. Jahrhundert einen neuen Ansatz für das Studium der Zahlen, dem ein Jahrhundert später Ghiyāth al-Dīn al-Kāshānī folgte. Letzterer war der größte muslimische Mathematiker auf dem Gebiet der Analysis und Zahlentheorie. Er war der wahre Entdecker der Dezimalbrüche und bestimmte sehr genau den Wert von Pi, außerdem entdeckte er viele neue Methoden und Techniken zur Berechnung. Es handelt sich um den Schlüssel der Arithmetik (Miftaá al-áisāb), das grundlegendste Werk seiner Art auf Arabisch. Unterdessen ebnete ein Zeitgenosse von al-Kāshānī, Abū'l-æasan al-Bustī, der in Marokko, am anderen Ende der islamischen Welt, lebte, ebenfalls neue Wege auf dem Gebiet der Zahlenforschung und des ägyptischen Badr al-Dīn al-Māridīnī verfasste wichtige mathematische und astronomische Abhandlungen.

Die Safawiden-Renaissance in Persien markiert die letzte Periode relativ umfangreicher Aktivitäten in der Mathematik, obwohl der umgebenden Welt nur wenig davon bekannt ist. Die Architekten der wunderschönen Moscheen, Schulen und Brücken dieser Zeit waren alle mathematische Experten. Der berühmteste dieser in der Mathematik tätigen Persönlichkeiten des XNUMX./XNUMX. Jahrhunderts war Bahā' al-Dīn al-'Amilī. Auf dem Gebiet der Mathematik waren seine Schriften meist eine Rezension und ein Kompendium der Werke früherer Meister; Sie wurden zu den Standardtexten in den verschiedenen Zweigen dieser Wissenschaft, seit sich das Studium der Mathematik an offiziellen Schulen auf eine zusammenfassende Behandlung beschränkte und das ernsthaftere Studium der individuellen Initiative überließ.
Mullā Muáammad Bāqir Yazdī, ein Zeitgenosse von Bahā' al-Dīn al-'Amilī, der im frühen XNUMX./XNUMX. Jahrhundert seine Blütezeit erlebte, führte einige originelle mathematische Studien durch. Einige spätere Mathematiker behaupteten, er habe auch eine unabhängige Entdeckung des Logarithmus gemacht, diese Behauptung wurde jedoch noch nicht vollständig untersucht und bewiesen. Nach Yazdī blieb die Mathematik hauptsächlich an den Rahmen gebunden, den die mittelalterlichen Meister dieser Wissenschaft vorgegeben hatten. Es gab einige gelegentliche Figuren, wie die Narāqī-Familie von Kashan aus dem XNUMX./XNUMX. Jahrhundert, deren Mitglieder mehrere Originalabhandlungen verfassten, oder Mullā 'Alī Muhammad Isfahānī, der im XNUMX./XNUMX. Jahrhundert numerische Lösungen für quadratische Gleichungen diktierte. Es gab auch einige prominente indische Mathematiker. Im Allgemeinen wandte sich die spekulative Kraft der islamischen Gesellschaft jedoch fast ausschließlich Fragen der Metaphysik und Gnosis zu; Abgesehen von ihrer Verwendung im Alltag erfüllte die Mathematik im Wesentlichen die Funktion einer Leiter zur intelligiblen Welt der Metaphysik. Damit erfüllte es die Funktion, die die Brüder der Reinheit und viele andere frühere Autoren als seine wahre Daseinsberechtigung angesehen hatten.

Um die Errungenschaften der islamischen Mathematik zusammenzufassen, können wir sagen, dass Muslime als erste die Zahlentheorie sowohl in ihren mathematischen als auch in ihren metaphysischen Aspekten entwickelten. Sie verallgemeinerten den Begriff der Zahl über das hinaus, was den Griechen bekannt war. Sie entwickelten auch leistungsfähige neue Methoden der numerischen Berechnung, die später mit Ghiyāth al-Dīn al-Kāshānī im XNUMX./XNUMX. und XNUMX./XNUMX. Jahrhundert ihren Höhepunkt erreichten. Sie beschäftigten sich auch mit Dezimalbrüchen, Zahlenreihen und verwandten Zweigen der Zahlenmathematik. Sie entwickelten und systematisierten die Wissenschaft der Algebra und behielten dabei stets ihre Verbindung zur Geometrie bei. Sie setzten die Arbeit der Griechen in flacher und fester Geometrie fort. Schließlich entwickelten sie die Trigonometrie, sowohl in der Ebene als auch im Körper, erstellten präzise Tabellen für Funktionen und entdeckten viele trigonometrische Beziehungen. Obwohl diese Wissenschaft von Anfang an in Verbindung mit der Astronomie gepflegt wurde, wurde sie erstmals von Nasīr al-Dīn al-Tūsī in seinem berühmten Werk „Sekantenfigur“, das eine der größten Errungenschaften der mittelalterlichen Mathematik darstellt, perfektioniert und in eine eigenständige Wissenschaft umgewandelt .

Die Brüder der Reinheit, deren historische Identität noch immer zweifelhaft ist, waren eine Gruppe von Gelehrten, vermutlich aus Basra, die im 52./XNUMX. Jahrhundert ein Kompendium der Künste und Wissenschaften in XNUMX Briefen verfassten. Es gibt auch das Risālat al-jāmi'ah, das die Lehren der Briefe zusammenfasst. Ihr klarer Stil und die wirksame Vereinfachung schwieriger Ideen machten ihre Briefe sehr beliebt und lösten so großes Interesse an den Philosophie- und Naturwissenschaften aus. Die Sympathien der Brüder der Reinheit galten eindeutig dem pythagoreisch-hermetischen Aspekt des griechischen Erbes, was sich vor allem in ihren mathematischen Theorien zeigt, die in späteren Jahrhunderten insbesondere in schiitischen Kreisen großen Einfluss ausübten. Wie die Pythagoräer betonten sie die symbolischen und metaphysischen Aspekte der Arithmetik und Geometrie, wie aus der folgenden Auswahl ihrer Schriften hervorgeht.
Man kann sagen, dass die Algebra ihren Ursprung in Muáammad ibn Mūsā al-Khwārazmīs berühmtem Werk „Compendium Book in the Process of Calculation by Constraint and Equation“ (Kitāb al-mukhtaöar fī al-jabr wa'l-muqābalah) hat, in dem das arabische Wort al- Zum ersten Mal wurde jabr verwendet, was „Zwang“ und auch „Wiederherstellung“ bedeutet. Nach Ansicht einiger Autoren wäre das Wort „Algebra“ von diesem Wort abgeleitet. Darüber hinaus trug al-Khwārazmīs Buch über Arithmetik, das später zusammen mit seinem Werk über Algebra ins Lateinische übersetzt wurde, mehr als jeder andere Text zur Verbreitung des indischen Zahlensystems sowohl in der islamischen Welt als auch im Westen bei.

Der Name 'Umar Khayyām ist im Westen dank der sehr schönen, wenn auch manchmal freien englischen Übersetzung seines Rubā'īyāt oder Quatrains (Quatrains) von Fitzgerald [1859] sehr bekannt geworden. Zu seiner Zeit war Khayyām jedoch eher als Metaphysiker und Wissenschaftler als als Dichter bekannt, und heute ist er in Persien vor allem für seine mathematischen Arbeiten bekannt und dafür, dass er zusammen mit anderen Astronomen an der Ausarbeitung des Jalāli-Sonnenkalenders beteiligt war. das seitdem bis heute verwendet wird.
Zu seiner Zeit war er nicht nur als Meister der mathematischen Wissenschaften und als Anhänger der griechisch inspirierten Philosophie und insbesondere der Schule von Avicenna bekannt, sondern auch als Sufi. Obwohl er von bestimmten religiösen Autoritäten und auch von einigen Sufis angegriffen wurde, die den Sufismus unter einem eher exoterischen Aspekt darstellen wollten, muss Khayyām als Gnostiker betrachtet werden, hinter dessen scheinbarer Skepsis die absolute Gewissheit intellektueller Intuition steckt. Sein Festhalten am Sufismus zeigt sich darin, dass er den Sufis den höchsten Platz in der Hierarchie der Wissensträger zuwies.

In Khayyām vereinen sich verschiedene Perspektiven des Islam. Er war Sufi und Dichter sowie Philosoph, Astronom und Mathematiker. Bedauerlicherweise hat er offenbar wenig geschrieben, und selbst davon ist einiges verloren gegangen. Nichtsdestotrotz sind die übrigen Werke – zu denen neben seinen Gedichten auch Abhandlungen über Existenz, Erzeugung und Verderbnis, Physik, die Gesamtheit der Wissenschaften, Gleichgewicht, Metaphysik sowie mathematische Werke gehören, die durch Forschungen zu Euklids Axiomen, Arithmetik und Algebra entstanden sind – vorhanden Beweis genug für seine Universalität. Khayyāms Algebra gehört zu den bemerkenswertesten mathematischen Texten des Mittelalters. Es befasst sich mit kubischen Gleichungen, die es klassifiziert und (normalerweise geometrisch) löst, und bewahrt stets die Beziehung zwischen den Unbekannten, Zahlen und geometrischen Formen, wodurch die Verbindung zwischen der Mathematik und der metaphysischen Bedeutung der euklidischen Geometrie aufrechterhalten wird.